Заседание Московского математического общества 26 апреля 2016 г.

(начало в 18 час. 30 мин., ауд. 16-10 Главного здания МГУ)

А.А.Айзенберг

Комбинаторика триангулированных многообразий и многочлены объема мультивееров

Каждому симплициальному комплексу можно сопоставить его f-вектор, то есть набор чисел (f_0,f_1,f_2,...), где f_j - число j-мерных симплексов комплекса. Возникает естественная комбинаторная задача: описать все возможные f-векторы триангуляций заданного многообразия, или хотя бы описать некоторые их свойства. Вместо f-вектора удобнее использовать h-вектор, несущий ту же информацию о комбинаторике триангуляции. В 70-х годах возникла теория алгебр Стенли-Райснера, позволившая перевести исходную комбинаторно-топологическую задачу на алгебраический язык.

Наиболее впечатляющие результаты эта теория дала для триангулированных сфер: с ее помощью сразу удалось доказать гипотезу о неотрицательности h-чисел сфер и гипотезу о верхней границе. Алгебраическая теория для триангуляций произвольных многообразий оказалась более сложной и обрела относительно завершенный вид в работах Новик и Шварца 2009-го года. Они построили фактор-алгебру алгебры Стенли-Райснера триангулированного многообразия, являющуюся алгеброй с двойственностью Пуанкаре, и выразили размерности ее градуированных компонент через h-вектор и числа Бетти многообразия.

В докладе будут рассказаны необходимые подробности и, насколько позволит время, описаны алгебры Новик--Шварца в терминах дифференциальных операторов и многочленов объема мультивееров.

Категория: 
Наука