Механико-математический факультет

(начало в 18 час. 30 мин., ауд. 16-10 Главного здания МГУ)

А.И.Ефимов
Положительность для квантовых кластерных алгебр и исчезающие циклы

Кластерные алгебры были введены Фоминым и Зелевинским в 2001 году.
Интуитивно про них можно думать как о многообразиях с бесконечным числом
аффинных карт, каждая из которых является аффинным пространством, и
функции перехода являются многочленами Лорана с целыми коэффициентами (так
называемый феномен Лорана). Один из основных вопросов этой теории ---
гипотеза о положительности коэффициентов этих многочленов. Эта гипотеза
была доказана Ли и Шиффлером в 2014 году для так нызваемых
кососимметрических кластерных алгебр.

В докладе пойдет речь о квантовых кластерных алгебрах, введенным
Беренштейном и Зелевинским в 2004 году. Я расскажу о категорном подходе к
феномену Лорана и гипотезе положительности (в кососимметрическом случае).
Он основывается на теории категорных инвариантов Дональдсона- Томаса,
развитой в работах Концевича и Сойбельмана. Будет объяснено (без
технических деталей), как целочисленные коэффициенты соответствующих
(квантовых) многочленов Лорана можно выразить через (монодромные)
смешанные структуры Ходжа на исчезающих когомологиях некоторых гладких
алгебраических многообразий с регулярной функцией. Эти многообразия ---
пространства модулей стабильных представлений колчанов, а функция --- след
линейной комбинации циклических путей. Гипотеза положительности сводится к
утверждению о чистоте этих смешанных структур Ходжа.

Гипотеза о чистоте была сформулирована докладчиком в 2011 году (она
возникла в результате обсуждений с Концевичем). В январе 2016 Б.Дэвисон
опубликовал препринт с доказательством этой гипотезы, тем самым доказав
положительность для квантового случая.